Cm:
\(\frac{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^2}\sqrt{1+z^2}-\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+z^2}}{yz}\)\(+\frac{\sqrt{1+z^2}\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+z^2}-\sqrt{1+x^2}}{zx}\)\(=0\)
Với x,y,z>0;x+y+z=xyz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 11 2018
\(A=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y-z\right)^2+\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z-x\right)^2+\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
HF
14 tháng 8 2020
\(P=\frac{\sqrt{1+x^2+y^2}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^2+z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^2+x^2}}{zx}\)
\(\ge\text{Σ}\frac{\sqrt{\frac{\left(1+x+y\right)^2}{3}}}{xy}\text{=}\frac{1+x+y}{xy\sqrt{3}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{1+x+y}{xy}+\frac{1+y+z}{yz}+\frac{1+z+x}{zx}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(x+y+z+2xy+2yz+2zx\right)\)\(\ge\frac{\sqrt{3}}{3}\left(3\sqrt[3]{xyz}+2\cdot3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(3+6\right)=3\sqrt{3}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2019
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Vũ Sơn Tùng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 3 2020
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)
\(VT=\sum\frac{\sqrt{1+a^6+b^6}}{a^3b^3}\ge\sum\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{a^6b^6}}}{a^3b^3}=\sqrt{3}\left(\frac{1}{a^2b^2}+\frac{1}{b^2c^2}+\frac{1}{c^2a^2}\right)\)
\(VT\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2.b^2c^2.c^2a^2}}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z=1\)
14 tháng 7 2021
Từ zyz = 4 => \(\sqrt{xyz}=\sqrt{4}=2\)
Ta có:A = \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{zx}+2\sqrt{z}+2}\)
A = \(\frac{\sqrt{xz}}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xz}+2\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{xyz}}{\sqrt{xy^2z}+\sqrt{xyz}+\sqrt{xz}}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}\)
A = \(\frac{\sqrt{xz}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}+\frac{2}{2\sqrt{z}+\sqrt{xz}+2}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}\)
A = \(\frac{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}=1\)
19 tháng 8 2020
Đặt \(P=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Do x,y,z là các số thực dương nên ta biến đổi \(P=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x^2};b=\frac{1}{y^2};c=\frac{1}{z^2}\left(a,b,c>0\right)\)thì \(xy+yz+zx=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}=1\)và \(P=\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}+a+b+c\)
Biến đổi biểu thức P=\(\left(\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{a+1}{16}\right)+\left(\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{b+1}{16}\right)\)\(+\left(\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{c+1}{16}\right)+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{b}-\frac{3}{16}\)
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy ta có
\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{a+1}{64\left(a+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{b+1}{64\left(b+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{c+1}{64\left(c+1\right)}}+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{16}-\frac{3}{16}\)
\(=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\left(a+b+c\right)\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{abc}\)
Mặt khác ta có \(1=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\Leftrightarrow abc\ge27\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{27}=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot9=\frac{21}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c hay \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
27 tháng 8 2016
2/ Ta có
\(\frac{x+y}{4}+\frac{x^2}{x+y}\)\(\ge\)x
\(\frac{y+z}{4}+\frac{y^2}{y+z}\ge y\)
\(\frac{z+x}{4}+\frac{z^2}{z+x}\ge z\)
Từ đó ta có VT \(\ge\)\(\frac{x+y+z}{2}\)\(\ge\)\(\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2}\)= \(\frac{1}{2}\)
Đạt được khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)